Предметы высшей математика
Аналитическая геометрия
Высшая математика
Дифференциальные уравнения и УРЧП
Линейная алгебра
Логика
Математическая статистика
Математический анализ
Начертательная геометрия
Теоретическая механика
Теория вероятности
Теория полей, колец
Предметы физики
Физика
Оптика
Электроника
Теория горения и взрыва
Предметы биологии
Биология
Предметы химии
Химия
Предметы экономики
Бухгалтерский учет
Микроэкономика
Макроэкономика
Эконометрика
Теория игр
Маркетинг
Менеджмент
Финансовая математика
Логистика
Государственное и муниципальное управление
Технические специальности
Механика
Архитектура
Скульптура
Сопротивление материалов
Электротехника
Гуманитарные специальности
Культурология
Мировая художественная культура
Психология
Политология
Религоведение
Лингвистика
Социология
Стилистика русского языка
Философия
Экология



Решения задач 19 ЕГЭ по математике
15.04.15 Вводная лекция
скачать pdf

Для успешного решения задач 19 ЕГЭ необходимо хорошо овладеть навыками расчета сложных и простых процентов. А также помнить, что один процент - это, 1/100, таким образом с процентами мы работаем, как с обыкновенными дробями.

Также нам понадобятся следующие понятия:

Процентная ставка — это доход от предоставления денег в долг в относительном выражении (либо расход для того, кто должен выплачивать).

Период исчисления — интервал времени, к которому относится процентная ставка.

База для начисления процентов — денежная сумма, на которую начисляются проценты.

Кредитор — лицо, которое предоставляет деньги под процентную ставку с целью получения прибыли. То есть лицо которое получит деньги и начисленный по ним процент.

Заемщик — лицо, получающее деньги под определенный процент, для решения своих проблем. То есть лицо, которое обязано будет вернуть первоначальную сумму денег, плюс начисленные на них проценты.

Пример

Например, если процентная ставка по вкладу в размере (S) составляет 17% процентов годовых, это означает, что через год мы получим:

1. Наш вклад в размере (S)

2. Начисленные проценты по вкладу, в размере 17/100*S

Таким образом в сумме получим S + 17/100S = S(1+17/100)=S(1+17%) Последним равенством и будем пользоваться в дальнейшем, к нему нужно привыкнуть.

По способу начисления проценты делятся на простые и сложные. Главное отличие простых и сложных процентов состоит в выборе базы для начисления процентов.

Простые проценты

Если процентная ставка применяется к одной и той же денежной базе, на протяжении всего срока действия договора, такие проценты называются простыми.

Пример

Пусть S - первоначальный вклад, а i - процентная ставка годовых. Проценты начисляют в конце каждого года. Тогда в конце первого года вкладчику начислят S*i процентов и на счету будет S+ S*i.

В конце второго года снова начислят S*i и на счету будет уже S+ S*i+ S*i и т. д.

Т. е. каждый год будет добавляться одна и та же сумма в абсолютном выражении. В конце n-го года у вкладчика на счету будет формула

Сложные проценты

Если процентная ставка каждый следующий период применяется к денежной базе с учетом начисленных за предыдущие периоды процентов, такие проценты называются сложными.

Пример

Пусть S - первоначальный вклад, а i - процентная ставка годовых. Проценты начисляют в конце каждого года.

Тогда в конце первого года вкладчику начислят S*i процентов и на счету будет S+ S*i =S(1+i). Это и будет являться базой для начисления процентов в конце второго года.

В конце второго года снова начислят S(1+i)*i и на счету будет уже S(1+i)+ S(1+i)*i =формула в конце третьего года на счету будет формулаи т. д.

В конце n-го года у вкладчика на счету будет формула


Удачного решения задач!

Решения задач 19 ЕГЭ по математике
15.04.15 Вариант 88 Алекс Ларин
скачать pdf

В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года — y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x, при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение

Итак, в январе 2000 вкладчик внес в банк некоторую сумму, обозначим ее за S, в это время ставка в банке составляла x% годовых, таким образом, на счету у вкладчика через год в январе 2001 года находилось уже S*(1+x%).

Как рассчитываются проценты, Вы можете посмотреть в водной лекции по задачам 19.

Далее, в январе 2001 года, вкладчик снял со счета 1/5 первоначальной суммы, то есть остаток на счету составил S*(1+x%)-1/5*S = S*(4/5+x%).

Через год на эту сумму был начислен процент, но уже по ставке y% годовых (банки начисляют по вкладам сложные проценты).

Таким образом, на счету у вкладчика в январе 2002 года оказалось S*(4/5+x%)*(1+y%).

При каком значении процентной ставки эта сумма будет максимальна?

Мы должны промаксимизировать функцию роста вклада потребителя

F(x,y) = S*(4/5+x%)*(1+y%) при ограничении, x%+y%=30%

Подставив в функцию y%=30%-x%, получим функцию одной переменной:

F(x)= S*(4/5+x%)*(1+30%-x%)

Вспоминаем задачи на нахождение экстремума функции, находим производную, приравниваем ее к нулю и находим критические точки:

F'(x)= S*(-2x%-4/5+1,3)=0

Откуда x% = 0,25 то есть ставка годовых должна составить в 2000 году 25%, осталось проверить, что мы нашли ставку максимума, а не минимума, сделайте это самостоятельно.

Ответ: 25%


Удачного решения задач!

Решения задач 19 ЕГЭ по математике
18.04.15 Вариант 91 Алекс Ларин
скачать pdf

Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй — 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение
Удобно представить условия задачи в табличном виде:

Количество акций Цена до повышения Цена после повышения Стоимость до повышения Стоимость после повышения
Брокер №1 x p p1 x*p x*p1
Брокер №2 y p p1 y*p y*p1
Итог 3640

Осталось выписать уравнения:

Стоимость, по которой купили акции брокеры, составляет 3640, то есть формула

Условие, что брокеры продали 0.75 и 0.8 соответственно, от общего количества своих акций после повышения цены, за 3927, можем формализовать следующим образом:формула

Кроме того, второй брокер выручил от продажи на 140% больше, чем первый, то есть стоимость, за которую он продал, в 2.4 =(1+140%) больше: формула

Осталось решить:

Из последнего уравнения, x = 4/9y; подставляя в 1 и 3 уравнения получим: y*p =2520; y*p1=3465

Делим y*p1 на y*p, получим отношение p1/p = 1.375, таким образом цена акций выросла на 37.5%

Ответ: 37.5%


Удачного решения задач!

Решения задач 19 ЕГЭ по математике
27.04.15 Вариант 93 Алекс Ларин
скачать pdf

Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект – от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Решение
В начале года банк вкладывает деньги клиентов:

рисунок

В конце года банк получает прибыль, полученную, от вложений в проекты и выплачивает проценты клиентам по ставкам от 10% до 20%.

Банк получает максимальную чистую прибыль, если зарабатывает наибольший процент от вкладов в проекты 30%*37%+70%*27% = 30% от суммы вклада S, а выплачивает клиентам наименьший процент от суммы вклада S, т.е. 10%. Тогда наибольшая чистая прибыль составит 30%-10%=20% годовых.

Банк получает минимальную чистую прибыль, если зарабатывает наименьший процент от вкладов в проекты 30%*32%+70%*22% = 25% от суммы вклада S, а выплачивает клиентам наибольший процент от суммы вклада S, т.е. 20%. Тогда наименьшая чистая прибыль составит 25%-20%=5% годовых.


Ответ: 20%, 5%

Удачного решения задач!

Яндекс.Метрика